Son aquellos productos que se rigen por reglas
fijas y cuyo resultado puede hallarse por simple inspección. Su denominados
también "Identidades Algebraicas". Son
aquellos productos cuyo desarrollo es clásico y por esto se le
reconoce fácilmente. Las más importantes son:
Binomio de Suma al Cuadrado: El Cuadrado del primer
Término, más el Doble Producto del Primer por el segundo Término, más
el Cuadrado del Segundo Término.
Formula: ( a +
b )2 = a2 + 2ab + b2
Ejercicios:
- (2 + x)² = 2² + 2(2)(x) + x²
= 4 + 4x +
x²
- (x + y)² = x² + 2 (x)(y) + y²
= x² + 2xy
+ y²
- (2p + q)² = (2p)² + 2(2p)(q) + q²
= 4p² +
4pq + q²
- (3a + b)² = (3a)² + 2(3a)(b) + b²
= 9a² +
6ab + b²
- (x + 1)² = x² + 2(x)(1) + (1)²
= x² + 2x
+ 1
- (x + 9)² = (x)² + 2(x)(9) + (9)²
= x² + 18x
+ 81
- (8a2b + 7ab6y²)² = (8a²b)² + 2(8a²b)(7ab6y²) + (7ab6y²)²
=
64a4b² + 112a3b7y² + 49a²b12y4
- (2a - 3b)² + (3a - 5b)²
= [4a²-2(2a)(3b)+ 9b²] + [9a² - 2(3a)(5b) + 25b²]
=
4a² - 12ab + 9b² + 9a² - 30ab + 25b²
=
13a² - 42ab + 31b²
- [a/2 + 2b]² + [2a – b/2]² =[(a²/4+2(a/2(2b)+4b²]+[4a²-2(2a)(b/2+b²/4]
= a²/4 +
4ab/² + 4b² + 4a² - 4ab/2 + b² /4
= a²/4 +
8ab + 4b² + b²/4
=
a² + 16a² /4 + 16b² + b²/4
= 17a²/4 +
17b²/4
- (1,5xy² + 2,5xy)²
= (2.25
x²y4 + 2 (1,5xy²)(2,5x²y) + (6,25x4y²)
= 2.25
x²y4 + 7,5x³y³ + 6,25x4y²
Binomio Diferencia al Cuadrado: El Cuadrado del primer
Término, menos el Doble Producto del Primer por el segundo Término,
más el Cuadrado del Segundo Término.
Formula: ( a -
b )2 = a2 - 2ab + b2
Ejercicio:
- (a - 6)² = (a)² - 2(a)(6) + (6)²
= a² - 12a
+ 36
- (2a - 3b)² = (2a)² - 2(2a)(3b) + (3b)²
= 4a² -
12ab + 9b²
- (3a – 5b)² = (3a)² - 2(3a)(5b) + (5b)²
= 9a² -
30ab + 25b²
- (p - q)² = p² - 2pq + q²
- (15x²y - 3xy²z6)²
= (15x²y)² - 2(15x²y)(3xy²z6) + (3x²z6)²
=
225x4y² - 90x²y3z6 + 9x4z12
- (11x - 5y)² - (13x + 3y)² + (x - 2y)²=
=
(121x² - 2(11x)(5y) + 25y²) - (169x²+ 2 (13x)(3y) + 9y²) + (x² -
2(x)(2y) + 4y²)
=
121x² - 110xy + 25y² - 169x² - 78xy - 9y² + x² - 4xy +
4y²
= -
47x² - 192xy - 20y²
- (3a - b/5)² = 9a² - 2(3a)(b/5) + b²/25
= 9a²-
6ab/5 + b²/25
- (2x²/3 - 3yz/5 )²
=
4x4 /9 - 2(2x²/3)(3yz/5) + (9x²y²/25)
=
4x4 /9 - 12x²yz/15 + 9x²y²/25
=
4x4 /9 - 4x²yz/5 + 9x²y²/25
- (0,1a² - 0,2abc)² =
= (1a²/10 -
2abc/10)²
= (1a²/10)² - 2(1a²/10)(2abc/10) +
(2abc/10)²
= a4/100 -
4a³bc/100 + 4a²b²c²/100
= 0,01a4 -
0,04a²bc + 0,04a²b²c²
- (3a²b³/4 - 3ab6/5 )²
= 9a4b6/16
-2(3a²b³/4)(3ab6/5)+ (9a²b¹²/25)
= 9a4b6/16 -
18a³b9/20+ 9a²b¹²/25
= 9a4b6/16 -
9a3b9/10 + 9a2b12/25
Diferencia de Cuadrados: El Cuadrado del Primer Término
menos El Cuadrado del Segundo Término.
Formula: ( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2
Ejercicios:
- x2 – 9
= (x + 3). (x - 3)
- x2 - y2
= (x + y). (x - y)
- b2 - 1
= (b + 1). (b - 1)
- x2 - 9/25
= (x + 3/5). (x - 3/5)
- x6 - 4
= (x3 + 2). (x3 - 2)
- 36x2 - a6b4
= (6x + a3b2). (6x - a3b2)
- x2 - 0,16
= (x + 0,4). (x - 0,4)
Producto de dos binomios que tienen un término común: El
cuadrado del termino común, más el producto de termino común por la suma de los
términos no comunes, más el producto de los términos no comunes.
Formula: ( x
+ a)(x + b) = x2 + ( a + b) x + ab
Ejercicios:
- (a + 2)(a + 3)
= a² + a (2 + 3) + (2)(3)
= a² + 5a + 6
- (x + 5)(x + 4)
= (x)² – x (5 + 4) + (5)(4)
= x² + 9x + 20
- (t + 2)(t - 3)
= t² + t (2 – 3) + (2)(-3)
= t² - t - 6
- (a + 5)(a - 9)
= a² + a (5 – 9) + (5)(-9)
= a² – 4a – 45
- (x - 8)(x - 1)
= (x)² + x(- 8 + -1) + (- 8)(- 1)
= x² - 9x + 8
- (a - 7)( a – 9)
= (a)² + a (-7 + -9) + (-7)(-9)
= a² - 16 a + 63
- (x + 2)(x - 12)
= (x)² + x(2 - 12) + (2)(-12)
= x² – 10x - 24
- (x + 3)(x + 8)
= x² + x(3 + 8) + (3)(8)
= x² + 11x + 24
- (x – 4)(x - 6)
= (x)² + x(- 4 + - 6) + (-4)(- 6)
= x² - 10x + 24
- (x + 6)(x - 2)
= (x)² + x(6 – 2) + (6)(-2)
= x² + 4x - 12
Binomio Suma al Cubo: El Cubo del Primer Término, más
el triple producto del cuadrado del primer por el segundo Término, más el
triple producto del primer por el cuadrado del segundo Término, más el cubo del
segundo Término.
Formula: ( a + b )3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 +
b3 = a3 + b3 + 3 ab (a + b)
Ejercicios:
- (a + 3)³= a³ + 3(a)²(3) + 3(a)(3)² + (3)³
= 27 + 9a² + 27a + 27
- (x + 2)³ = x³ + 3(x)²(2) + 3(x)(2)² + 2³
= x³ + 6x² + 12x + 8
- (t + 4)³ = t³ + 3(t)²(4) + 3(t)(4)² + (4)³ =
= t³ + 3(t)²(4) + 3(t)(4)² + (4)³
= t³ + 12t² + 48t + 64
- (2x + 3y)³=(2x)³+3(2x)²(3y)+3(2x)(3y)²+(3y)³
= 8x³ + 36 x²y + 54xy²+ 27y³
- (2 + 3t)³ = 2³ + 3 (2)²(3t) + 3(2)(3t)² + (3t)³
= 8 + 36t + 54t² +27t³
- (t² + t³)³ =(t²)³+ 3(t²)²(t³) + 3(t²)(t³)² + (t³)³
=
t⁶ + 3t⁴t³ + 3t²t⁶ + t⁹
= t⁶ + 3t⁷
+ 3t⁸ + t⁹
- ( 1 + x⁴)³= (1)³ + 3(1)²(x⁴) + 3(1)(x⁴)² + (x⁴)³
= 1 + 3x⁴ + 3x⁸ + x¹²
- (u² +5v)³=(u²)³+3(u²)²(5v)+3(u²)(5v)²+ (5v)³
=
u⁶ + 15u⁴5v + 75u²v² - 125v³
- (1/2x + 2y)³=(1/2x)³+3(1/2x)²(2y)+ 3(1/2x)(2y)² + (2y)³
= x³/8 + 6x²y/4 – 12y²x/2 + 8y³
= 1/8 x³+ 3/2 x²y – 6 x y²+ 8 y³
- (5p/2 + 3q/2)³
= (5p/2)³+3(5p/2)²(3q/2)+3(5p/2)(3q/2)²+(3q/2)³
= 125p³/8 + 225p²q/8 + 135pq²/8 + 27q³/8
Binomio Diferencia al Cubo: El Cubo del Primer Término,
menos el triple producto del cuadrado del primer por el segundo Término, más el
triple producto del primer por el cuadrado del segundo Término, menos el
cubo del segundo Término.
Formula: ( a - b )3 = a3 - 3 a2b + 3 ab2 -
b3
Ejercicios:
- (p – q)³ = p³ – 3(p)²(q) + 3(p)(q)² – q³
= p³ – 3p²q + 3pq² - q³
- (2 – a)³ = 2³ – 3(2)²(a) + 3(2)(a)² – a³
= 8 – 12a + 6a² - a³
- (2a – b)³ = (2a)³ -3(2a)²(b)+3(2a)(b)²- b³ =8a³ – 3(4a²)b + 6ab²– b³
= 8a³ – 12a²b + 6ab² – b³
- (3a - 5b)³ = (3a)³-3(3a)²(5b)+3(3a)(5b)²-(5b)³
= 27a³ - 135a²b + 225ab² - 125b³
- (3a –2x)³=(3a)³–3(3a)²(2x)+3(3a)(2x)²-(2x)³
= 27a³ – 54a²x + 36ax² – 8x³
- (5a – 1)³= (5 a)³–3(5a)²(1)+3(5a)(1)² - (1)³
=125 a³ – 75a² + 15a - 1
- (3a²-2a)³=(3a²)³–3(3a²)²(2a)+3(3a²)(2a)²-(2a)³
= (27x6) - 3(9x4)² (2a)+(9a²)(4a²) - (8a³)
= (27x6) - (54x5) +(36a4) - (8a³)
- (2/3a – 1/3b)³ =(2/3a)³–3(2/3a)²(1/3b)+3(2/3a)(1/3b)²+(1/3b)³
= 8a³/27 –
12a²b/27 + 6ab²/27 – 1/27b³
=
8/27 a³ – 4/9 a²b + 2/9 ab² –
1/27 b³
- (a – a/3)³ = a³–3(a)²(a/3)+3(a)(a/3)² – (a/3)³
= a³ – 3a³/3 + 3a³/9 – a³/27
= a³ – a³ + a³/3 – a³/27
= a³/3 – a³/27
= a³ – a³ + a³/3 – a³/27
= a³/3 – a³/27
- ( ½ - a)³ = (½ )³ - 3(1/2)²(a) +3(1/2)(a)² – a³
= 1/8 – 3/4 a + 3/2 a² – a³
Suma de dos Cubos: Se saca raíz cubica a cada uno de
los dos términos cúbicos, para obtener un binomio (la suma de dos números), y
en base a ese binomio, se utiliza la siguiente regla para obtener un trinomio:
el cuadrado del primero, menos el producto del primero por el segundo, más el
cuadrado del segundo.
Formula: a3 +
b3 = ( a + b ) ( a2 – ab + b2)
Ejercicios:
- 27x3 + 1 = (3x)3 + 13
= (3x + 1)[(3x)2 - (3x)(1) + 12)]
= (3x + 1)(9x2 - 3x + 1)
- X3+1 = (x + 1)[(x2 – x(1) + 12)]
= (x + 1) (x2 – x + 1)
- 27a3 + b6 = ( 3a + b2)[(3a)2 – 3a(b2) + (b2)2]
= ( 3a + b2) (9a2 – 3ab2 + b4)
- 27m6 + 64n9
= (3m2 + 4n3)(9m4 – 12m2n3 + 16n6)
- 1 + a3 = ( 1+ a) [( 1)2 – (a)(1) + (a)2]
= ( 1+ a) ( 1 – a + a2)
- x3 + y3 = ( x+ y ) [(x)2 – (x)(y) + (y)2]
= x3 + y3 = ( x+ y ) (x2 – xy + y2)
- 8x3 + 1 = (2x + 1) [(2x)2 – (2x)(1) + (1)2]
= (2x + 1) (4x2 – 2x + 1)
- 64 + a6 = ( 4 + a2) [(4)2 – (4)(a) + (a)2]
= ( 4 + a2) (16 - 4a + a2 )
- 8a3 + 27b6 = (2a + 3b2) [(2a)2 – (2a)(3b2) + (3b2)2]
= (2a + 3b2) (4a2 – 6ab2 + 9b4)
- 1 + 343n3 = (1 + 7n) [(1)2 – (7n)(1) + (7n)2 ]
= (1 + 7n) (1 – 7n + 49n2 )
Diferencia de Cubos: Se saca raíz cubica a cada uno de los
dos términos cúbicos, para obtener un binomio (la diferencia de dos números),
y en base a ese binomio, se utiliza la siguiente regla para obtener un
trinomio: el cuadrado del primero, más el producto del primero por el segundo,
más el cuadrado del segundo.
Formula: a3 -
b3 = ( a - b ) ( a2 + ab + b2)
Ejercicios:
- x3 − 8 = x3 –
= ( x − 2)(x2 + 2x + 4)
- x3y6 - 64 = (xy2)3 - 43
= (xy2 - 4)((xy2)2 + (xy2)(4) + 42)
= (xy2 - 4)(x2y4 + 4xy2 + 16)
= (xy2 - 4)(x2y4 + 4xy2 + 16)
- a3 – 8 = (a – 2)[(a2 + 2(a) + 22]
= (a – 2) (a2 + 2ª + 4)
- x3 – 27 = (x – 3) [( x) 2 + 3(x) + (3)2 ]
= (x – 3) ( x2 + 3x + 32 )
- a3 – 1 = ( a- 1) [(a)2 + (a)(1) + (a)2 ]
= ( a- 1) (a2 + a + a2)
- 27a3 – b3 = ( 3a – b) [( 3a)2 + (3a)(b) + (b)2]
= (3a – b) (9a2 + 3ab + b2)
- a3 – 125 = (a – 5) [( a)2 + (5)(a) + (5)2]
= (a – 5) (a2 + 5a +
25)
- 8x3 – 27 y3 = ( 2x – 3y) [(2x)2 + (2x)(3y) + (3y)2 ]
= (2x – 3y) (4x2 + 6xy + 9y2 )
- a3b3 - x3 = (ab – x) [(ab)2 + (ab)(x) + (x)2 ]
= (ab – x) (a2b2 + abx + x2)
- 343x3y3 – 729y3 = ( 7xy – 9y) [( 7xy)2 + (7xy)(9y) + (9y)2 ]
= (7xy – 9y) 49x2y2 + 63xy2 + 81y2)
Trinomio Suma al Cuadrado o Cuadrado de un Trinomio: El cuadrado del primer término, más el cuadrado del segundo término, más el cuadrado del tercer término, más el doble producto del primero por el segundo, más el doble producto del segundo por el tercero, más el doble producto del tercero por el primero.
Formula:
( a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc
+ 2ac = a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ac)
Ejercicios:
- (x2 − x + 1)2
=(x2)2 + (−x)2 + 12 +2 · x2 · (−x)
+ 2 x2 · 1 + 2 · (−x) · 1
= x4 + x2 + 1 − 2x3 + 2x2 − 2x
= x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 1
- (3 + 2 +1)2 = 32 + 22 + 12 +2(3)(2) + 2(2)(1) + 2(3)(1)
=9 + 4 + 1 +12 + 4 + 6
= 36
- (4 + 5 + 8)2= 42 +52 + 82 + 2(4)(5) + 2(5)(8) + 2(4)(8)
=16 + 25 + 64 + 40 + 80 + 64
=289
- (7x + 9 +9)2 = (7x)2 + 92 + 92 + 2(7x)(9) + 2(9)(9) + 2(7x)(9)
=49x2 + 81 + 81 + 126x + 162 + 126x
=49x2 + 252x + 324
- (6 + 5x + 3)2 =62+(5x)2+32+2(6)(5x)+2(5x)(3)+2(6)(3)
=36 + 25x2 + 9 + 60x + 30x + 36
=25x2 + 90x + 81
Trinomio Suma al Cubo:
Formula: ( a +
b + c)3 = a3 + b3 + c + 3(a + b) . (b +c). (a + c)
Ejercicios:
- ( x + y + 1)3 = x3 + y3 + 13 + 3 (x + y) (x + 1) (y + 1)
= x3 + y3 + 1 + 3 (x2 + x + x y + y) (y + 1)
= x3 + y3 + 1 + 3 (x2 y + x2 + x y + x + x y2 + x y + y2 +
y)
=x3 + y3 + 1 + 3 x2 y + 3 x2 + 6 x y + 3 x + 3 x y2 + 3 y2 +
3 y
- ( 3x + 2y + 6 ) 3 = ( 3x )3 + ( 2y )3 + ( 6 )3 + 3 ( 3x + 2y ) ( 2y + 6 ) ( 3x + 6 )
= 27 x3 + 8 y3 + 216 + 3 ( 18 x2y + 54 x2 + 12 xy2 + 36 xy +
36 xy + 108 x + 24 y + 72 y )
= 27 x3 + 8 y7 + 216 + 54 x2y + 162 x2 + 36 xy2 + 216 x y +
324 x + 72 y2+216y
Identidades de Legendre:
Formula 1:
( a + b)2 + ( a – b)2 = 2 a2 2b2 = 2(a2 + b2)
Ejercicios:
- ( 3a + 5b ) 2 + ( 3a – 5b ) 2 = 2 ( ( 3a )2 + ( 5b ) 2 )
= 2
( 9a2 + 25b2 )
=
18a2 + 50b2
- ( 2a + 3b ) 2 + ( 2x – 3y ) 2 = 2 ( ( 2a ) 2 + ( 3b ) 2)
= 2
( 4a2 + 96 2 )
= 8a2
+ 18b2
- ( 2x + 3y ) 2 + ( 2x – 3y ) 2 = 2 ( ( 2x2 ) + ( 3y ) 2 ) = 2 ( 4x2 + 9y2 )
= 8x2 + 18y2
Formula 2: ( a + b)2 + ( a – b)2 = 4 ab
Ejercicios:
- ( 4x + 8y ) 2 + ( 4x – 8y ) 2 = 4 ( 4x ) ( 8y )
=
128 x y
- ( 9a + 116 ) 2 + ( 9a – 11b ) 2 = 4 ( 9a ) ( 116 )
= 396 ab
- ( 18a + 25b ) 2 + ( 18a – 25b ) 2 = 4 ( 18a ) ( 25b )
= 1800 ab
